「shall」と「will」のどちらを使えば良いのかよくわからない、という人はたくさんいるようですが、「shall 」は比較的、古い言葉で、古典などではよく使われています。
最近は未来時制の文で「shall」が使われることはほとんどありません。たいていは「will」で大丈夫です。「shall」については、ここで紹介するものだけ覚えていれば十分です。
未来を表すにはwillを使う
未来を表すには、ふつう「will」を使います。
未来には大まかに言って二つの意味があります。単純未来「～だろう」と意思未来「～するつもりだ、～しよう」です。
例文
This will be our first transaction with your firm.（単純未来）
これは貴社との初めての取り引きとなります ※transaction 取り引き
I will leave Tokyo tomorrow.（意思未来）
私は明日東京を発つつもりだ
「will not」の省略形は「won't」になります。
例文
I won't tell anyone what you said.
あなたが話したことは誰にも言いません
willの依頼・勧誘を表す用法
「Will you～？」、「Won't you～？」で「～してもらえませんか」「～しませんか」の意味になります。
例文
Will you open the door for me?（依頼）
ドアを開けてくれませんか
Won't you have another cup of tea?（勧誘）
お茶をもう一杯いかがですか
shallの主な用法
1⃣ Shall I～？ 「～しましょうか」、Shall we～？ 「～しませんか」と相手の意思をたずねる時に使われます。
例文
Shall I open the window?
窓を開けましょうか
2⃣ 「～すべし、～するように」といった命令や、規則などで「～とする」というときに使われます。
例文
All raw materials shall be given an incoming inspection to check quality.
品質を確認するため、原料はすべて受け入れ検査を受けるものとする
shallには、2・3人称を主語にとって話者の意思を表すという古風な用法がありますが（He shall go there「彼をそこへ行かせよう」など）、2⃣はそれが拡張されたものといえます。
willはcanのように使うこともある
「will」には「習慣」や「習性」を表す用法があるほか、「can」のように可能を表すこともあります。
例文
Accidents will happen.（習性）
事故は起こるものだ
This machine will produce 100 units an hour.（可能）
この機械は1時間に100台生産できる